La quadrature du cercle…

Le dramaturge grec Aristophane (né vers 446 et mort vers 386 av. J.-C.) parla de la quadrature du cercle de manière plutôt cocasse dans l’une de ses comédies, particulièrement satyrique : Dans “Les Oiseaux”…, pièce donnée pour la première fois en 414 av. J.-C.
La trame : des citoyens d’athènes, fatigués du brouhaha de la métropole, décident de construire une cité dans les airs et d’aller y vivre. Plusieurs architectes et urbanistes offrent leurs services au protagoniste : Pisthétère.
[MÉTON] : Me voici…
[PISTHÉTÈRE] : Mon malheur ne finira donc jamais ! Que venez-vous faire ? Quel est votre dessein ?
[MÉTON] : Je viens mesurer votre air et le partager en parcelles.
[PISTHÉTÈRE] : Par tous les dieux ! Mais qui êtes-vous ?
[MÉTON] : Comment, qui suis-je ? Je suis Méton, connu dans toute la grèce, de long en large.
[PISTHÉTÈRE] : Très bien. Et ceci, qu’est-ce donc ?
[MÉTON] : Ceci est une règle souple. Je vais vous expliquer. L’air dans son ensemble est comme un vaste four et, en utilisant ma règle souple ainsi, et mon compas comme cela… Vous me comprenez ?
[PISTHÉTÈRE] : Je n’y comprends rien.
[MÉTON] : Avec cette autre règle, je trace une ligne droite, j’inscris un carré dans le cercle et je mets en son centre la place. Vers cette place convergent toutes les rues, comme partent les rayons dans toutes les directions, à partir du centre de l’étoile, pourtant circulaire.
[PISTHÉTÈRE] : Par tous les dieux ! cet homme est un véritable thalès !

Après avoir analysé la nature de π et prouvé qu’il est transcendant, il devient évident que toute tentative de quadrature du cercle est une tâche vaine.
Cependant, des volontaires n’ont pas manqué pour se dévouer à cette quête, en toute bonne foi… et ils ont trouvé des approximations intelligentes du nombre π .
La plupart d’entre eux cherchaient en fait à réaliser l’inaccessible quadrature, ils étaient atteints de ce qu’on a appelé pour plaisanter le « morbus cyclometricus », ou virus de la quadrature du cercle.
La description de ces « malades de la quadrature » montre qu’il s’agit d’hommes d’âge mûr, ne connaissant pas la signification du mot « impossible », ayant peu de connaissances mathématiques, convaincus de l’importance du problème et de mériter une grasse récompense s’ils le résolvaient, manquant de logique, solitaires et… si ce n’était pas suffisant, écrivains prolixes… bref, un portrait peu amène mais proche de la réalité statistique historique.

Le philosophe romain Boèce, Anicius Boethius en latin (né vers 480 et mort en 524), avant d’être accusé de conspiration et exécuté par Théodoric, affirmait dans son ouvrage “Liber circuli” qu’il avait réalisé la quadrature du cercle, mais que la démonstration était bien trop longue pour la reproduire complètement dans son livre.
Cette formulation, reprise ensuite par Fermat à propos de son fameux théorème… et si l’on y rajoute le fait que la quadrature s’est avérée indiscutablement impossible, rendent la démonstration supposée de Boèce plus que douteuse.

À une époque plus récente, nous trouvons l’éminent cardinal allemand Nicolas de Cues (1401-1464)…, son très haut niveau intellectuel lui valut d’être cité par Kepler et Cantor entre autres, car il proposa des idées très avancées sur l’infini.
Excellent polyglotte, juriste, philosophe, astronome, il était plus numérologue que mathématicien…, en tant que géomètre, il a essayé de réaliser la quadrature du cercle et d’après lui, il y réussit.
Mais son contemporain Johannes Müller von Königsberg (1436-1476), qui portait le pseudonyme latin de Regiomontanus, ou encore Regiomontano, meilleur mathématicien que le cardinal et grand admirateur d’Archimède, réfuta ses points de vue et démontra qu’il n’y était pas arrivé dans son ouvrage De cuadratura circuli.
Il est certain cependant que l’approximation de π à laquelle est arrivée Nicolas de Cues, qu’il considérait comme définitive, est excellente : 3,1423…
Notons que Regiomontanus, pour sa part, avait donné comme valeur approximative 3,14243.

Un peu plus tard, en 1585, Adriaan Anthonisz (né vers 1543 et mort en 1620), père d’Adriaan Metius (1571-1635), calcula que π se trouvait entre 377/120 et 333/106.
Il facilita la tâche de son fils à qui il ne restait qu’à faire une espèce de moyenne des numérateurs et des dénominateurs, ce qui constituait une bonne approximation, mais de là à réussir la quadrature du cercle…

L’histoire la plus connue au sujet de la quadrature du cercle est peut-être celle qui concerne Thomas Hobbes (1588-1679), célèbre philosophe et champion de l’empirisme, et John Wallis (1616-1703), éminent mathématicien anglais.
Il semble que Hobbes, homme très intelligent mais sans instruction particulière en géométrie, proclama dans son “De Corpore”, en 1655, qu’il avait démontré la quadrature du cercle, en plus d’autres exploits au sujet de la rectification de diverses courbes.
Bien sûr, ce n’était pas juste et Wallis, dans “Elenchus geometriae hobbianae”, dénonça plusieurs erreurs et y glissa quelques remarques, méchantes mais justifiées, au sujet du talent de Hobbes pour la géométrie.
Il faut dire que Wallis professait la doctrine presbytérienne, ce qui le rendait doublement odieux aux yeux de Hobbes, puisqu’ils étaient ennemis même sur le plan religieux.
Hobbes était faible en mathématiques, il n’était tombé dans les filets d’Euclide qu’à l’âge de 40 ans, mais finalement, d’autres philosophes ont été aussi médiocres que lui et on n’en sut rien…, Marx a soutenu par exemple en plein XIXème siècle que le matérialisme dialectique pouvait se déduire d’une équation du deuxième degré.
Dans le cas de Hobbes, le problème est non seulement qu’il n’a pas voulu le reconnaître, mais qu’il en fit un problème personnel, s’en amusa et fit durer la polémique en répondant aux accusations par écrit.
Les documents portent d’ailleurs des titres amusants et chaque fois plus venimeux : “Markes on the Absurd Geometry, Rural Language, Scottish Church-Politiks and Barbarismes of John Wallis” (Observations sur la géométrie absurde, le langage rural, la politique de l’Église écossaise et les barbarismes de John Wallis).
La polémique présentait des aspects humiliants pourtant réels, comme lorsque Wallis accusa Hobbes de plagier ses contemporains : « Quand quelque chose de vrai apparaît dans ce que vous dites, ce n’est pas de vous, mais tiré des autres. »

Grégoire de Saint-Vincent (1584-1667), un jésuite belge à qui nous devons, entre autres, les coordonnées polaires, donna naissance à un nouveau système proche de celui de l’intégrale…, il a trouvé la quadrature de l’hyperbole (correctement)… et prétendit avoir trouvé celle du cercle.
Ses contemporains exprimèrent leur scepticisme et, finalement, Huygens trouva l’inévitable erreur de raisonnement.

Un exemple typique de quadrature du cercle nous vient de Jacob Marcelis (né en 1636 et mort vers 1714), un fabricant de savons…
Un commentaire peu charitable à son égard, parut dans l’anthologie d’horreurs mathématiques de “De Morgan, A Budget of paradoxes” : « Il faut espérer que ses savons sont meilleurs que ses valeurs de π . »

Les stupidités s’accumulent avec le temps et on arrive ainsi à Mathulon, qui, en 1728, affirma qu’il avait percé le secret du mouvement perpétuel et de la quadrature du cercle et ce en même temps.
De plus, il offrit une récompense à qui pourrait réfuter une seule étape de son raisonnement, ce qui constituait une preuve symbolique émouvante de son assurance.
Cela va sans dire : démonstration fut faite que son raisonnement était faux et il dut payer…
Il n’est pas étonnant que l’Académie française, en 1753, ait décidé de ne plus se charger de vérifier les démonstrations de la quadrature du cercle.
Peut-être prit-elle peur devant leur quantité croissante et le coût de leur correction, ou bien les Académiciens souhaitaient se garder de certaines personnes insistantes, comme un dénommé Vausenville, qui les poursuivit en réclamant le prix pour celui qui découvrirait le premier la fameuse quadrature du cercle !

Le défilé ne se termina pas… mais au moins on savait que les démonstrations proposées ne pouvaient être que fallacieuses.
Il faut pourtant mettre à part ceux qui, comme Srinivasa Ramanujan (1887-1920), savaient bien qu’elle était impossible, mais qui cherchaient des constructions d’une exactitude surprenante.

π est vraiment un nombre très spécial, c’est le plus connu et le plus cité, le plus célèbre de tous les nombres.
L’enthousiasme, la passion, le véritable fanatisme dont π et ses chiffres sont l’objet, ont donné naissance au terme « pimania » en anglais et en espagnol, qui décrit l’obsession autour de ce nombre.
Une promenade dans ce monde, à mi-chemin entre l’extravagance et le sérieux académique, est aussi divertissante qu’intéressante, π est véritablement plus qu’un simple nombre.

MARTIN ARMSTRONG, ancien conseiller financier richissime (1 trillion de dollars), basé aux États-Unis, a mis au point un modèle informatique basé sur le nombre pi, et d’autres théories liées aux cycles, capable de prédire les tournants décisifs de la vie économique mondiale… et ce avec une précision frappante.
Au début des années 1980, il a fondé sa société de prospective et de conseil financiers : Princeton Economics.
Ses analyses étaient très recherchées, par le monde entier… et à mesure que sa réputation se renforçait, des banquiers New Yorkais de premier plan l’invitaient à rejoindre “le club”, pour les aider à mieux manipuler le marché mondial.
Martin a refusé leurs invitations à plusieurs reprises…, ses ennuis judiciaires vont alors commencer et le mener tout droit en prison.

Armstrong a été mis en examen le 29 septembre 1999 par la Cour du District Sud de New York, au sujet d’une escroquerie présumée, dans laquelle il était accusé d’avoir trempé en collusion avec des employés de la Banque “Republic New York”, dans une affaire impliquant des investisseurs japonais.
Après quelques péripéties judiciaires pour le moins étonnantes, les attentats du 11 septembre 2001 vont même venir s’immiscer dans cette étrange affaire…
Le dossier de l’affaire Armstrong de la Commission US des valeurs mobilières (U.S. Securities and Exchange Commission) disparut avec l’anéantissement de ses bureaux, situés au 7ième World Trade Center, lors des attentats terroristes du 11 septembre !
Le gouvernement prononça alors une sentence d’outrage au tribunal (sic !)… et malgré les statuts officiels la limitant en principe à 18 mois maximum, il fut maintenu en prison, sur la base de l’outrage, sans avocat, sans procès, ni motif, pendant plus de 7 ans…, ce qui en fait la plus longue incarcération “pour outrage au tribunal” de l’histoire des États-Unis d’Amérique.
Ce n’est que le 2 septembre 2011 qu’il fut enfin libéré.
Ses “ennuis” avaient un lien très étroit avec la capacité qu’avait Armstrong de prédire les retournements de tendances majeurs de l’activité économique mondiale, il est particulièrement connu pour avoir prédit, au jour près, le krach de 1987 !
Il a mis au point un modèle informatique basé sur le nombre Pi… et d’autres théories liées aux cycles, capables de prédire des tournants décisifs de la vie économique mondiale, et ce avec une précision frappante.

CRASH 2018…
Les achats d’obligations gouvernementales par les banques centrales sont l’une des expériences monétaires les plus atypiques de l’histoire financière.
On a affirmé qu’il s’agissait d’une forme de création monétaire censée créer de l’hyperinflation, qui ne s’est jamais matérialisée malgré les prédictions des incorrigibles pessimistes…
Les facteurs déflationnistes sont bien trop forts et nous les connaissons : il s’agit d’une part de la mondialisation, des délocalisations, de l’immigration, de la démographie déclinante dans de nombreux pays dits développés, et des progrès technologiques.
Tous ces facteurs sont profondément déflationnistes.
Injecter de la monnaie fait gagner du temps mais ne peut régler aucun problème.
Néanmoins, le montant total des assouplissements monétaires qui s’est accumulé sur les bilans de la FED, de la BCE et de la BoJ s’élève désormais environ 13,5 trillions de dollars, une somme supérieure au PIB de la Chine ou de la zone euro par exemple.

Interview Martin Amstrong…

– Si les QE ont échoué à créer de l’inflation, y mettre un terme pourrait en fait générer l’inflation qui était attendue, cela ne semble-t-il pas paradoxal ?

– Peu importe la quantité de monnaie créée, si elle n’atteint pas l’économie réelle il n’y aura pas d’inflation. De plus, même si elle atteint l’économie réelle et qu’elle alimente l’épargne, il n’y aura toujours pas d’inflation.

– La conséquence la plus dingue des QE, ce sont les réserves excédentaires à la FED.

– Les banquiers se sont plaints des achats d’obligations de la FED, qui les empêchaient de parquer leur argent…, la FED leur a donc offert une solution en leur proposant de leur payer des intérêts sur leurs réserves excédentaires, sans justification valable. Environ 3 trillions de dollars ont été parqués à la FED, générant des intérêts, si bien que 4,5 trillions de dollars n’ont jamais vu le jour. De ce fait, il n’y a pas eu vraiment d’inflation en dehors des soins de santé, qui grimpent toujours de toute façon, le cash a simplement été accumulé.

– Mais comment la fin des QE pourrait-elle créer de l’inflation ?

– La fin des politiques accommodantes de la FED, de la BCE et de la BoJ va déboucher sur une augmentation des taux obligataires, ce qui augmentera le coût du service de la dette des États, cela augmentera encore plus les dépenses et les emprunts des gouvernements, même s’ils n’investissent pas. Les gouvernements ne se penchent pas sur ce problème car ils s’attendent à ce que rien ne change : ils pensent qu’il y aura toujours des acheteurs pour leurs émissions obligataires. Les gouvernements ont fortement augmenté leurs dépenses en raison des taux planchers, de facto à zéro… et du fait que les banques centrales achetaient. Alors que, durant Reagan, la dette américaine avait atteint la barre du trillion de dollars a la fin de la totalité de son mandat, Obama, lui, a enregistré des déficits annuels d’un trillion et ce durant deux mandats !!!

– Le moment de vérité approche. Les QE ont-ils déstabilisé les marchés obligataires de façon telle que seuls des idiots achèteront des obligations dans un contexte de taux en hausse ? Comment ce système d’emprunts perpétuels peut-il se poursuivre année après année tandis que les dettes gonflent ?

– Certains ne comprennent toujours pas que l’économie est régie par un cycle ; ce n’est pas parce qu’on peut vendre une obligation aujourd’hui qu’on pourra trouver un acheteur demain. C’est pareil pour les biens immobiliers et les automobiles de collection ainsi que les peintures, les œuvres d’art ! De plus, d’autres secteurs du système financier mondial ont été sérieusement déstabilisés. Par exemple, les banques européennes ont transféré du cash dans leurs succursales américaines, tout en parquant de l’argent à la FED, alors que la BCE leur imposait des taux négatifs. De plus, les 13,5 trillions de dollars du bilan de la FED, de la BCE, de la BoJ sont pris au piège, ces actifs ne peuvent être vendus sur les marchés. Cela signifie qu’elles sont obligées d’attendre que leurs obligations arrivent à maturité afin de réduire la taille de leur bilan.

– Elles n’ont pas d’autre porte de sortie ?

– Non, aucune. La BCE, la plus vulnérable de toutes, car elle possède 40 % de la dette des États membres de l’Union Européenne. Alors que la situation économique déchire l’Union, le bilan de la BCE est le plus vulnérable, le plus exposé à un défaut. De plus, ce trio de banques centrales a épuisé toutes ses cartouches. La FED doit relever son taux directeur pour être en mesure de le rabaisser en cas de besoin, mais elles ne peuvent acheter davantage d’obligations sans risquer de courir vers leur propre banqueroute. Un défaut de la banque centrale, comme cela s’est passé sous Jackson avec la Banque des États-Unis, fut suivi par la panique de 1837 et les défauts des États souverains des années 1840, qui créèrent une dépression qui sema les graines de la guerre de Sécession.

– Le bilan de la FED était de 900 milliards en 2008 alors qu’il est aujourd’hui de 4,5 trillions.

– Celui de la banque du Japon a enregistré une augmentation de 107 trillions de yens durant la même période pour atteindre aussi environ 4,5 trillions de dollars soit 490 trillions de yens. Nous avons ensuite la BCE, qui a plus que doublé son bilan de 2 à 4,1 trillions d’euros, soit aussi environ 4,5 trillions de dollars. Les banques centrales ont acheté les obligations gouvernementales des banques commerciales et leur ont payé des intérêts avec de la monnaie créée : il s’agit de la description du processus par les pessimistes.

– En théorie, c’est élastique : si on laisse les obligations arriver à maturité, elles disparaissent petit à petit du bilan.

– Oui, mais voici le problème : le gouvernement continue d’emprunter. Si la banque centrale n’est plus acheteuse, les taux peuvent grimper bien plus vite qu’escompté afin d’attirer de nouveaux acheteurs. Si cela ne marche pas, nous pourrions connaître des défauts souverains. Le QE de la FED va désormais véritablement prendre fin ! La FED a récemment annoncé qu’elle ne réinvestira plus le produit des obligations arrivées à échéance dans de nouveaux titres, ce qui signifie que la taille de son bilan va se réduire. Pour 426 milliards d’obligations arriveront à échéance en 2018, pour 357 milliards un an plus tard. La FED ne réinvestira pas ces montants, ce qui signifie que la quantité d’obligations disponible sur le marché va doubler.

– Le Trésor américain sera forcé de trouver de nouvelles façons d’absorber l’offre supplémentaire si la FED souhaite récupérer ses billes, soit trouver davantage d’acheteurs privés.

– La réduction de la taille des bilans représente la tendance déflationniste continue d’une tendance d’expansion économique réelle. Le gouvernement sera en compétition pour attirer les investisseurs dans une économie à la croissance toujours plus faible. Le bilan de la BoJ devrait continuer de gonfler tant que l’objectif d’inflation de 2 % n’est pas atteint. Celui de la BCE l’imitera au moins jusqu’à la fin de l’année, comme prévu. Cependant, les effets négatifs de la réduction des bilans de plusieurs banques centrales se renforceront mutuellement en 2018, ce qui facilitera l’émergence d’une crise à l’horizon 2018-2020.

– Le retrait de la BCE du marché obligataire européen, qui inclut également des obligations d’entreprise, provoquera-t-il des effets secondaires même en dehors de l’Europe ?

– Il fera perdurer les aspects déflationnistes de la croissance économique. Cela ne fera que mettre en évidence les conséquences involontaires de toute cette expérience monétaire non orthodoxe.